「A氏が犯人なら犯行時刻に犯行現場にいた。しかし、その時刻、A氏は離れた場所にいた」矛盾を導くことで証明する「背理法」という考え方（現代ビジネス）

定理:人間の集団があって、そこでは任意の2人について、「互いに相手と知り合いである」か「互いに相手を知らない」のどちらかが成り立っているとする。このとき、各人が知っている人数の全員ぶんの合計は偶数になる。 証明:人間の集団にはn人がいて、P1、P2、P3、…、Pn(注:1~nは下付き文字)と名付けられているとする。また、互いに知り合いの関係は全部でm個あって、それらもE1、E2、E3、…、Em(注:1~mは下付き文字)と名付けられているとする。 このとき、上の例で説明したことから、次のことが分かるだろう。 P1が知っている人数+P2が知っている人数+……+Pnが知っている人数 は E1に関しては2度カウントして、E2に関しても2度カウントして、……、Emに関しても2度カウントしている。 したがって、 各人が知っている人数の全員ぶんの合計=2×m が成り立つことになる。 (証明終わり) ここで、例題1の説明をしよう。もし結論を否定して、誰も嘘を言っていないとすると、上の定理より 20×23+15×27 は偶数でなければならない。ところが、 20×23+15×27=460+405=865 であるので、これは矛盾である。したがって誰かが嘘を言っているのである。 ちなみに上の考察で用いた「特殊化」と「一般化」も、筆者が考える「発見的問題解決法」13個のうちの2つである。それらについても、適当な機会に詳しく述べるつもりである。

次に、例題2を考えてみよう。 例題2:有理数とは(整数/整数)の形で表せる実数のことである。2つの有理数a、bの和と積が整数ならば、aとbはともに整数であることを証明せよ。 解説:背理法を用いて示す。すなわち、2つの有理数a、bの和と積が整数で、aとbの少なくとも1つが整数でない場合を仮定して矛盾を導こう。 いま、aとbのどちらか1つだけが整数でないならば、(a+b)は整数ではないので、この状況はあり得ない。そこで、aとbはともに有理数であるが、ともに整数でない、として議論を進めよう。 ここで、中学数学で学んだ「√2は無理数である」ことの背理法による証明を思い出そう。筆者がよく示す証明法は、 √2=n/m(nとmは整数)……(*) であるとして、 2×mの2乗)=nの2乗 を導いて、上式の両辺を素因数分解したときの、それぞれの素数の個数を考える。 m、nを素因数分解したときの素数の個数をそれぞれs、tとすると、左辺の素数の個数は奇数個(2s+1)で、右辺の素数の個数は偶数個(2t)である。これは矛盾であるという方法である。 一方、学校教科書に載っている証明法は、(*)における「nとmは互いに素(共通の素因数はない)」という仮定を設けて矛盾を導く方法である。以下、これを参考にするのである。 例題2に戻ると、「aとbはともに有理数であるが、ともに整数でない」としたことから、 a=n/m(nとmは互いに素な整数、mは2以上) b=t/s(tとsは互いに素な整数、sは2以上) として議論を進める。「互いに素」という強い条件が加わったことに留意したい。 a+b=(ns+tm)/(ms)……(ア) ab=(nt)/(ms)……(イ) の両方が整数であるので、(ア)より、mはns+tmの約数である。よって、mはnsの約数となるので、mはsの約数になる。また(イ)より、sはntの約数となるので、sはnの約数になる。 したがって、mはnの約数となって、矛盾である。 以上で例題2の証明は終わるが、よく知られている2次方程式の根と係数の関係を用いて、以下のように示す方法もある。